logika informatika

Logika Informatika

Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah bagian dari Implikasi seperti yang sudah di bahas di Logika Matematika.
Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah suatu pernyataan Implikasi baru dari suatu pernyataan implikasi.

1. Konvers adalah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain. Pernyataan q=>p disebut Konvers dari p=>q.
2. Invers adalah Pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang lazim. Pernyataan ~p=>~q disebut Invers dari p=>q.
3. Pernyataan ~q=>~p disebut Kontraposisi dari p=>q.

B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

 Dari tabel diatas diketahui Implikasi ekuvalen dengan kontra posisi atau biasa ditulis dengan

 p=>q≡~q=>~p

 Contoh soal :

1. 1. Konvers dari "Jika hujan terus-menerus maka terjadi banjir" adalah ....
   
   

 nilai kebenaran Konvers, Invers  dan Kontraposisi dari Implikasi: 

p	q	Implikasi	Konvers	Invers	Kontraposisi
		p=>q	q=>p	~p=>~q	~q=>~p

A. Jika terjadi banjir maka hujan terus-menerus
B. Jika terjadi banjir maka hujan tidak terus-menerus
C. Jika hujan tidak terus-menerus maka tidak terjadi hujan
D. Jika tidak terjadi banjir maka hujan terus-menerus
E. Jika tidak terjadi banjir maka hujan tidak terus-menerus

Jawab : A
» Konvers = q -> p
» p = hujan terus-menerus
» q = terjadi banjir
Jadi konversnya "Jika terjadi banjir maka hujan terus-menerus

2. Invers dari "Jika curah hujan meningkat maka air sungai meluap" adalah ....
A. Jika air sungai tidak meluap maka curah hujan tidak meningkat
B. Jika curah hujan tidak meningkat maka air sungai tidak meluap
C. Jika air sungai meluap maka curah hujan meningkat
D. Jika curah hujan menurun maka air sungai kering
E. Jika air sungai kering maka tidak ada curah hujan

Jawab : B
Invers = ~p -> ~q
» p   = curah hujan meningkat
• ~p  = curah hujan tidak meningkat
» q   = air sungai meluap
• ~q  = air sungai tidak meluap
Jadi inversnya "Jika curah hujan tidak meningkat maka air sungai tidak meluap"

3. Kontraposisi dari "Jika sungai dalam maka sungai banyak ikan" adalah ....
A. Jika sungai banyak ikan maka sungai dalam
B. Jika sungai banyak ikan maka sungai tidak dalam
C. Jika sungai tidak dalam maka sungai tidak banyak ikan
D. Jika sungai tidak banyak ikan maka sungai dalam
E. Jika sungai tidak banyak ikan maka sungai tidak dalam

Jawab : E
» Kontraposisi = ~q -> ~p
» p   = sungai dalam
• ~p  = sungai tidak dalam
» q   = sungai banyak ikan
• ~q  = sungai tidak banyak ikan
Jadi kontraposisinya "Jika sungai tidak banyak ikan maka sungai tidak dalam" (~q -> ~p)

 Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk  yang memiliki nilai kebenaran yang sama.

Contoh 1 :

(1). Indah sangat cantik dan peramah.

(2). Indah peramah dan sangat cantik.

Kedua pernyataan diatas, tanpa pikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini :

A = Indah sangat cantik

B = Indah itu ramah

Ekspresi logikanya adalah :                (1). A ^ B

                                                            (2). B ^ A

Jika dikatakan kedua ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, maka dapat ditulis : ( A ^ B ) ≡ ( B ^ A )

Ekuivalen logis dari kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan Tabel Kebenaran :

A	B	A ^ B	B ^ A
B	B	B	B
B	S	S	S
S	B	S	S
S	S	S	S

TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar.
contoh pernyataan tautologi adalah:
(p ʌ q) => q
untuk membuktikan pernyataan diatas adalah tautologi, simak tabel kebenaran untuk tautologi
(p ʌ q) => q berikut;

contoh tabel kebenaran tautologi

contoh lain pernyataan tautologi adalah:
a. ((p => q) ʌ (r => q)) => ((p v r) =>q
b. (p ʌ  ~q) => p

CONTOH TAUTOLOGI

SOAL

A.Buktikan bahwa proposisi berikut “TAUTOLOGI” !!

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }

{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }

{(p∧q)⇒r}⇔{(p∧ ∼r)⇒∼q)

{(p∧q)⇒r}⇔{(p⇒r) v (q⇒r)}

(p⇒r)⇒{(p∧q)⇒r}∧{p⇒(q∧r) }⇒(p⇒q)

B.Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Proposisi berikut,Kemudian tentukan

kebenarannya!

Jika x=5 , Maka x^2=25

Jika x^2 bilangan asli, Maka x bilangan asli

Jika ∆ABC sama kaki, Maka ∠A= ∠C

Jawaban

A.Pembuktian “TAUTOLOGI”

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }

Jawab :

p q r { ( p v q ) ⇒ r } ⇔ { ( p ⇒r ) ∧ (q ⇒ r ) }

B B B B B B B B B

B B S B S B S S S

B S B B B B B B B

B S S B S B S S B

S B B B B B B B B

S B S B S B B S S

S S B S B B B B B

S S S S B B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }

Jawab :

p q r { p ⇒ (q ∧ r) } ⇔ { (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒r ) }

B B B B B B B B B

B B S S S B B S S

B S B S S B S S B

B S S S S B S S S

S B B B B B B B B

S B S B S B B B B

S S B B S B B B B

S S S B S B B B B

Terbukti bahwa proposisi tsb adalah TAUTOLOGI

KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.
contoh pernyataan kontradiksi:
p ʌ (~p ʌ q)
tabel kebenaran pernyataan kontradiksi  p ʌ (~p ʌ q):

Contoh tabel kebenaran kontradiksi

contoh lain pernyataan kontradiksi adalah:
a. (p ʌ ~p)

v  Contoh  Kontradiksi :

    Buktikan pernyataan (~p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q) adalah suatu kontradiksi

Jawab :

Tabel kebenaran dari (~p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q) sebagai berikut :

p	q	~p	~q	(~p ˄ q)	(~p ˄ ~q)	(~p ˄ q) ˄ (~p ˄ ~q)
B	B	S	S	S	S	S
B	S	S	B	S	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	S	B	B	S	B	S